ECUACIONES MÉTODO DETERMINANTE
INTRODUCCION
Según los expertos en Matemática,
una ecuación (concepto derivado
del latín aequatio) constituye una igualdad donde aparece como mínimo una incógnita que exige ser develada por quien resuelve el
ejercicio. Se conoce como miembros
a cada una de las expresiones algebráicas que permiten conocer los datos (es decir, los
valores ya conocidos) y las incógnitas (los valores que no se han descubierto)
vinculados a través de diversas operaciones matemáticas.
Cabe resaltar que los datos incluidos en una ecuación pueden ser números,
constantes, coeficientes o variables. Las
incógnitas, por su parte, están representadas por letras que sustituyen al
valor que se intenta hallar.
Una ecuación sencilla es la siguiente:
4 + x = 9
En dicha ecuación, 4 y 9 son los datos, mientras que x es la incógnita. La ecuación puede resolverse de la siguiente
forma:
Se llama ecuación a la igualdad matemática que existe
entre dos expresiones, ésta se encuentra conformada por
distintos elementos tanto conocidos (datos) como desconocidos (incógnitas),
los cuales guardan relación a través de operaciones numéricas matemáticas. Los
datos por lo general se encuentran representados por coeficientes, variables,
números y constantes, mientras que las incógnitas son señaladas por letras y
representan el valor que se quiere descifrar a
través de la ecuación.
La civilización egipcia fue una de las primeras en utilizar
ecuaciones matemáticas,
pues para el siglo XVI ya aplicaban dicho sistema, para resolver problemas
asociados con la repartición de alimentos, aunque no eran llamados ecuaciones,
se podría decir que es el equivalente a la época actual. También los chinos
poseían conocimientos de tales soluciones matemáticas, pues para principios de
era escribieron un libro donde se planteaban diversos métodos para la
resolución de ecuaciones
de segundo y
primer grado.
Durante la edad media las ecuaciones matemáticas tuvieron un gran
impulso, pues éstas eran
utilizadas como desafíos públicos entre los matemáticos expertos de la época.
Para el siglo XVI dos importantes matemáticos realizaron el descubrimiento de
utilizar números imaginarios para poder solucionar las ecuaciones de segundo
tercero y cuarto grado. También en ese siglo Rene Descartes hizo famosa la notación
científica además
de ello, en ese siglo se hizo público también uno de los teoremas más populares
de las matemáticas “el último teorema de Fermat”. Durante el siglo XVII los
científicos Gottfried Leibniz e Isaac Newton hicieron posible la solución de las ecuaciones diferenciales, lo que dio
origen a una serie de descubrimientos que se dieron durante esa época con
respecto a esas ecuaciones en específico.
Muchos fueron los esfuerzos
que hasta principios del siglo XIX realizaron los matemáticos para encontrar la
solución a las ecuaciones de quinto grado, pero todos fueron intentos fallidos,
hasta que Niels Henrik Abel descubrió que no existe un fórmula general para
calcular ecuaciones de quinto grado, también durante esta época la física
utilizó ecuaciones diferenciales en ecuaciones integrales y derivadas, lo que dio origen a la física
matemática. En
el siglo XX se formularon las primeras ecuaciones diferenciales
con funciones complejas utilizadas en la mecánica cuántica, las cuales tienen
un amplio campo
de estudio en teoría económica.
Las ecuaciones poseen un amplio uso,
principalmente para mostrar las formas más exactas de las leyes matemáticas o
físicas, las cuales expresan variables. Algunos ejemplos de la aplicación de
las ecuaciones son las ecuaciones de estado, constitutivas y de movimiento.
Las ecuaciones se
clasifican en ecuaciones algebraicas, éstas a su vez pueden ser de primero,
segundo y tercer grado, diofánticas y racionales. Ecuaciones trascendentes, son
aquellas en donde intervienen funciones de tipo trigonométrica, exponenciales,
etc. Ecuaciones diferenciales, son dos las derivadas parciales y ordinarias.
Por último se encuentran las ecuaciones integrales y las funcionales. (Conceptodefinicion.de, s.f.)
OBJETIVOS
Objetivo General:
La utilización del método de ecuaciones por el método de
determinante.
Objetivo Específico:
Resolver ecuaciones simultáneas de primer grado con dos
incógnitas.
Comprender la solución de un sistema de ecuación de primer
grado por el método de determinante.
MARCO TEORICO
Método Determinante.
Para este método, primero recordemos algunos conceptos sobre
determinantes.
Un determinante, es un arreglo rectangular de filas y columnas, donde
los elementos, son los valores de los coeficientes de las ecuaciones que forman
el sistema.
El tamaño del determinante lo da el número de las filas y columnas, Así
hay determinantes de 2 x 2; 3 x 3; 4 x 4, etc. Las filas son horizontales y las
columnas son las verticales. (sapiensman, s.f.)
Solución de un sistema de
ecuaciones mediante el método de determinantes de segundo orden:
Para resolver el sistema
donde x y y son las incógnitas y a, b,
c, d, r, s,
son números reales.
1. Consideramos el arreglo que
consta de los coeficientes de las variables.
2. Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los
números que se encuentran en la esquina superior izquierda e inferior derecha y
restando el producto de los números que están en las esquinas inferior
izquierda y superior derecha. El número obtenido se llama determinante del
arreglo. Aunque parezca complicado, es fácil de recordar si usamos símbolos
Recuerda que para
calcular el determinante efectuamos los productos señalados por las flechas que
aparecen en el diagrama, asignando a la flecha hacia abajo un signo positivo y
hacia arriba un signo negativo y sumando los resultados obtenidos.
3. Con la notación observamos que la solución del sistema es
Conviene observar, para
recordar la solución, que el denominador de ambos se obtiene tomando el
determinante de los coeficientes de las variables en el sistema y para el
numerador consideramos el determinante obtenido al sustituir, en el
determinante del sistema en la columna de la variable que se quiere encontrar,
los términos independientes. (eplc, s.f.)
Ejemplo 1
Resuelve el sistema utilizando los determinantes.
Solución Calculamos primero el determinante del
sistema.
Ahora calculamos el valor de x
sustituyendo los valores de la primera columna del determinante del sistema por
los valores de los términos independientes y divididos entre el determinante
del sistema
Para calcular el valor de y
sustituimos los valores de la segunda columna del determinante del sistema por
los valores de los términos independientes y dividimos entre el determinante
del sistema.
comprobación
Sustituimos los valores x=-8 y y=5 en las ecuaciones
Primera ecuación: 5x +6y
= 5(-8) +6(5) = -10
Segunda ecuación 2x +3y =
2(-8) +3(5) = -1 (eplc, s.f.)
Ejemplo 2
Resuelve el sistema
utilizando determinantes.
Solución Calculamos el determinante del
sistema.
Ahora calculemos el valor
de w sustituyendo los valores de la
primera columna del determinante del sistema por los valores de los términos
independientes y dividiendo entre el determinante del sistema:
Para calcular el valor de
z sustituimos los valores de la segunda columna del determinante del
sistema por los valores de los términos independientes y dividiendo entre el
determinante del sistema:
Comprobación
Sustituimos los valores
w= 6 y z=
en las ecuaciones
en las ecuaciones
Primera ecuación: 
Segunda ecuación:
Valor de un determinante
3 x 3
|
|
Menor
de a1
|
Menor
de b1
|
Menor
de c1
|
|
|
|
|
|
|
|
 |
||||
Para encontrar el menor
de a1, formamos un determinante tachando los elementos de la matriz
que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que a1:
Para encontrar el menor
de b1, formamos un determinante tachando los elementos de la matriz
que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que b1:
Para encontrar el menor
de c1, formamos un determinante tachando los elementos de la matriz
que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que c1:
Solución Desarrollaremos el determinante
a lo largo del primer renglón:
|
|
Menor
de 1
|
Menor
de 3
|
Menor
de -2
|
|
 |
||||
Podemos evaluar un
determinante 3 x 3 desarrollándolo a lo largo de cualquier renglón o columna.
Para definir los signos entre los términos del desarrollo de un determinante 3
x 3, usamos el siguiente arreglo de signos:
Arreglo de signos para un
determinante 3 x 3
|
+
|
-
|
+
|
|
-
|
+
|
-
|
|
+
|
-
|
+
|
CONCLUSIONES
En el primer punto del trabajo
tuvimos un concepto general de lo que son los determinantes y varios conceptos
y aplicaciones previas para determinarlos como son los menores, los cofactores,
entre otros.
Demostramos también todas las
propiedades de los determinantes con los cuales nos facilitan mucho el trabajo y nos ayuda a terminar más rápido el proceso aplicado.
Las diferentes formas de
resolución nos llevó a un enfoque mucho más amplio en la resolución del
determinante, por ejemplo el método de cofactores se usa mucho en la resolución
de el determinante de 2 x 2, el método de Sarus y el método de la estrella nos
permite trabajar de una manera muy rápida en determinantes de 3x3 y el método
de Gauss que es un proceso muy fácil y conocido nos permite resolver
determinantes de cualquier orden.
En el punto de las
aplicaciones se pudo ver formas mucho más simples que podemos usar para la
resolución de la inversa, la adjunta, en geometría
analítica la obtención del área de un
triángulo, la determinación de colinealidad de dos puntos, así como la ecuación
de la recta entre dos puntos, etc.
RECOMENDASIONES
Reconocer las distintas
maneras de resolver una determinante para encontrar una manera sencilla y
rápida.
Introducción al algebra
lineal: Howard Anton, tercera edición
Algebra lineal y sus
aplicaciones, David C. Lay, segunda edición
Geometría Analítica de Lehmann
Algebra Superior Spiegel
Murray
Bibliografía
Conceptodefinicion.de. (s.f.). Obtenido de
Conceptodefinicion.de: http://conceptodefinicion.de/ecuacion/
Definicion.de. (s.f.). Obtenido de
Definicion.de: http://definicion.de/ecuacion/
eplc. (s.f.). Obtenido de
eplc:
http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapVI/6_7_met_geom.htm
sapiensman. (s.f.). Obtenido de
sapiensman: http://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas96f.php
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